Bayes teorem och lagen om total sannolikhet

Sannolikhet styr våra liv – vi använder den varje dag utan att vara medvetna om det. I den här artikeln kommer vi ta upp ett av dess viktigaste teorem: Bayes teorem.

Skriven och verifierad av psykologen Paula Villasante.

Senaste uppdateringen: 27 december, 2022

Bayes teorem är en av sannolikhetens grundpelare. Dess namn kommer från Thomas Bayes (1702-1761), som föreslog teorin på 1700-talet.

Men vad är det som denna vetenskapsman försökte förklara?

Enligt Meriam-Websters ordbok är sannolikhet “förhållandet mellan antalet resultat i en fullständig uppsättning lika möjliga resultat som producerar en given händelse, jämfört med det totala antalet möjliga resultat”.

Världen styrs av många sannolikhetsteorier. Då du går till läkaren så får du exempelvis ett recept på det som har störst chans att bota dig.

Annonsörerna fokuserar samtidigt sina kampanjer på personer som är mer benägna att köpa den produkt som de erbjuder. Du väljer samtidigt den väg till jobbet som du tror tar minst tid.

Lagen om total sannolikhet

En av de mest berömda sannolikhetslagarna är lagen om total sannolikhet. Det är viktigt att man analyserar vad lagen om total sannolikhet är. För att du ska kunna förstå detta så ska vi ge dig ett exempel.

Låt oss säga att det i ett slumpvalt land finns 39% kvinnor. Vi vet också att 22% av kvinnorna och 14% av männen inte har ett jobb. Så vad är då sannolikheten (P) för att en slumpvis vald person från befolkningen i detta land är arbetslös P (A)?

Enligt sannolikhetsteorin uttrycker vi sannolikheten på följande sätt:

• Sannolikheten att personen är en kvinna: P (K)
• Sannolikheten att personen är en man: P (M)

Då vi vet att 39% av befolkningen är kvinnor så kan vi härleda att P (K) = 0,39

Vi kan därför också härleda att P (M) = 1 – 0.39 = 0,61.

Det givna problemet ger oss dessutom följande sannolikheter:

• Sannolikheten att en kvinna är arbetslös: P (A | K) = 0,22
• Sannolikheten att en man är arbetslös: P (A | M) = 0,14

Genom att använda lagen om total sannolikhet så får vi då:

P (A) = P (K) P (A | K) + P (M) P(A | M)

P (A) = 0.22 × 0.39 + 0,14 × 0,61

P (A) = 0,17

Sannolikheten att en slumpvald person är arbetslös P (A) kommer då vara 0,17. Du kan se att resultaten ligger mellan de båda villkorliga möjligheterna (0,14 < 0,17 < 0,22).

Bayes teorem

Tänk dig nu att du väljer en slumpvis utvald vuxen för att fylla i ett formulär, varpå du inser att personen inte har ett jobb.

I det här fallet, och med föregående exempel i åtanke, vad är då sannolikheten att den slumpvis utvalda personen är en kvinna [P (K | A)]?

För att lösa detta problem så måste du applicera Bayes teorem. Du använder detta teorem för att beräkna sannolikheten för ett visst antal baserat på tidigare information rörande detta utfall.

Du kan beräkna sannolikheten för utfall A samtidigt som du vet att detta utfall A uppfyller vissa villkor (B) som påverkar dess sannolikhet.

I det här fallet prata vi om sannolikheten att den person du slumpvis väljer för att fylla i formuläret är en kvinna. Sannolikheten kommer dock inte vara oberoende av huruvida personen har ett jobb eller inte.

Bayes teorem-formel

Som med alla andra teorem behöver vi en formel för att beräkna sannolikheten:

Det kan verka svårt men allt har en förklaring:

• Till att börja med är B den händelse som vi har tidigare information om.
• Å andra sidan refererar termen A(n) till olika villkorliga händelser.
• Vi har villkorlig sannolikhet i täljaren. Detta refererar till sannolikheten att något (en händelse A) kommer uppstå, då man vet att en annan händelse (B) också uppstår. Vi definierar detta som P (A | B) och uttrycker det som  “sannolikheten av A givet B”.
• I nämnaren har vi motsvarigheten till P (B).

Ett exempel

Låt oss gå tillbaka till föregående exemplet och anta att du väljer en slumpvis utvald vuxen för att fylla ut ett formulär och så inser du att personen inte har ett jobb.

Vad är sannolikheten för att denna person är en kvinna [P (K | A)]?

Om vi tar det föregående exemplet i åtanke så vet vi att 39% av befolkningen är kvinnor. Vi vet då att resten är män, och även att 22% av kvinnorna är arbetslösa och att 14% av männen är arbetslös.

Vi vet då att sannolikheten att man väljer en slumpvis arbetslös person är 0.17. Så om vi applicerar Bayes teorem så kommer vi få 0.5 sannolikhet att den slumpvis utvalda personen, av alla de personer som är arbetslösa, kommer vara en kvinna.

P (K | A) = (P (K) * P (A | K) / P (A)) = (0,22 * 0,39) / 0,17 = 0,5

Vi kommer nu avsluta den här artikeln med att referera till en av de mest frekventa förvirringarna rörande sannolikhet. Den kan endast ligga mellan 0 och 1.

Om sannolikheten för ett resultat är 0 så är det omöjligt att det händer. Om sannolikheten å andra sidan är 1 så kommer det att hända.